Significa che il sito non funziona in quanto la piattaforma (basata sul linguaggio php) non riesce a comunicare con il database (mysql).
Premssa: WordPress è costruito utilizzando il linguaggio php (ad esempio le pagine index.php , header.php , ecc, hanno tutte estensione php) e il mysql che “contiene” i dati del sito (contenuto dei posts, opzioni del sito, dati degli utenti, ecc.). Quando si digita un’indirizzo url del sito, o si clicca su un link, in sostanza il linguaggio php interagisce con il database per visualizzare le informazioni richieste (la visualizzazione di una pagina, di un video, ecc.). Senza la risposta del database mysql il sito non funziona, e mostra il messaggio “error establishing connection to database”.
Le motivazioni possono essere molteplici, di seguito le più comuni, con i suggerimenti per sistemare l’errore (fix):

1. errore username e password del database. Se stai installando wordpress, o hai recentemente cambiato username e password di accesso al database, o l’utente (del database) non ha i privilegi per utilizzare il database su cui gira wordpress. I dati sono contenuti nel file /wp-config.php : devi controllare che siano gli stessi che ti ha fornito il tuo hoster (fornitore di hosting). Anche solo uno spazio manda tutto in crash. E assicurati di utilizzare un semplice editor di testo quando modifichi questo file.
2. il database è corrotto. Può succedere, sopratutto se nel sito vi sono alcuni plugins con parti di codice scritto male, o che semplicemente usano tante risorse (rispetto a quanto ti offre il tuo hosting). Per riparare questa “corruzione” del database, spesso è sufficiente lanciare il comando “repair” del database. Tralasciando ovviamente le soluzioni via pannello di controllo del wordpress (se il database è corrotto non ti funziona neanche l’amministrazione), puoi agire lanciando il repair in questi modi: a) tramite il pannello hosting. Una volta fatto il login, vai nella sezione “phpmyadmin”. Una volta aperta la schermata, seleziona tutte le tabelle, e in fondo seleziona l’opzione “Repair” o “Ripara tabelle”  2) tramite la funzione Auto Repair Database di WordPress: per utilizzarla, è necessario che sia abilitata tramite il wp-config.php : andare quindi ad editare questo file aggiungendo la riga

   define('WP_ALLOW_REPAIR', true);

   e poi salvando il file. Dopodichè digitare l’indirizzo vostrosito/wp-admin/maint/repair.php : comparirà una schermata in cui potete scegliere tra due opzioni: Repair a Repair & Optimize (vedi schermata).
   
   Dopo aver eseguito la riparazione, ricordarsi di togliere la riga

   define('WP_ALLOW_REPAIR', true);

   dal file wp-config.php come ci ricorda la stessa schermata:
   

3. Il terzo caso abbastanza comune è che sia andato proprio down il mysql del server dove viene ospitato il vostro sito. Questo può dipendere, spesso, perché si tratta di spazi condivisi tra più siti, e c’è qualche sito/account che sta utilizzando molte risorse. In ogni caso, si tratta di chiedere aiuto al vostro fornitore di hosting.